互斥與獨立的概念

Posted by mathfat — 三月 23, 2010

這是今天看到的一題

Suppose $A$ and $B$ are two events with $P(A) = 0.5$ , $P(A\bigcup B)=0.8$

For what value of $P(B)$ would $A$ and $B$ be mutually exclusive?

For what value of $P(B)$ would $A$ and $B$ be independent?

解法很簡單，只要觀念清楚並且始用 $P(A\bigcup B) = P(A)+P(B)-P(A\bigcap B)$ 就可以了！

$A$ and $B$ are mutually exclusive 是指 $A$ and $B$ 兩個王不見王，也因此 $P(A\bigcap B) = 0$ ,所以 $P(A\bigcup B) = P(A)+P(B)$ 。因此帶入公式得到 $P(B) =0.8-0.5=0.3$

$A$ and $B$ are independent 是指 $A$ and $B$ 兩個是陌生人，所以彼此不影響。所以 $P(A\bigcap B) = P(A)P(B)$ ,也就是說 $P(A\bigcup B) = P(A)+P(B)-P(A)P(B)$ ,因此 $0.8=0.5+P(B) -0.5P(B)$ ,所以 $P(B) =0.6$

一題三角不等式

Posted by mathfat — 十二月 14, 2009

題目：A, B, C 為三個 sets, A 與 B 的差異度 d(A, B) 定義為 $d(A, B) = |A\backslash B| + |B\backslash A|$ 試證:

$d(A, B) \leq d(A, C) + d(B, C)$

Let $D(A,B) = A\backslash B\cup B\backslash A$ , next I will prove

$\mbox{if } x\in D(A,B),\mbox{ then } x\in D(A,C)\cup D(B,C)$

then $d(A,B)\leq|D(A,C)\cup D(B,C)|\leq d(A, C) + d(B, C)$ .

Here is the proof.
$\mbox{if }x\in D(A,B)$
$\Rightarrow x\in A\backslash B\mbox{ or }B\backslash A.$
$\Rightarrow x\in (A\backslash C)\backslash B\mbox{ or }(A\cap C)\backslash B\mbox{ or }(B\backslash C)\backslash A\mbox{ or }(B\cap C)\backslash A$
$\Rightarrow x\in A\backslash C\mbox{ or }C\backslash B\mbox{ or }B\backslash C\mbox{ or }C\backslash A$
$\Rightarrow x\in D(A,C)\mbox{ or }x\in D(B,C)$
$\Rightarrow x\in D(A,C)\cup D(B,C)$

關於內積的問題

Posted by mathfat — 九月 9, 2009

題目出自線性代數的世界 p.40。

在 xy 平面上會不會有三個向量滿足 u‧v < 0 與 v‧w < 0 以及 u‧w < 0？我不知道在 xyz 空間裡，可以有多少向量彼此的點積都是負數。(在平面上是不可能有四個向量彼此的點積都是負數的。)

解答：有。令 u, v, w 分別為單位向量, 且兩兩夾角皆為 120 度即可。第二個的答案是至少四個，不知道能不能更多？第三個的證明方法有很多種，我的方法是這樣：由鴿籠定理可知平面上任意四個向量至少有兩個向量, say U and V, 的夾角≦90度，則 U ‧V ≧ 0.

Families of finite sets in which no set is cover by the union of p-1 others

Posted by mathfat — 五月 13, 2009

標題是參考自 Families of finite sets in which no set is covered by the union of r others 。

我做的事情如下：

Let $p$ be a prime number, $m\geq 2p-1$ . Given a set $S$ of $pm$ elements, there exists $(p+1)m$ distinct subsets of $S$ , for each $p$ subsets $X_1, \dots X_p$ , we have $X_i \nsubseteq \bigcup_{j\neq i} X_j$ .

至於這東西(原文內容)是不是 well-known 我就不得而知了。 8)

一題不等式

Posted by mathfat — 三月 19, 2009

六角幻方

Posted by mathfat — 一月 17, 2009

由於看到這裡寫到

兩層以上的六角幻方根本不存在

所以我想試著證明它。

首先我們該有一些基本的認識：透過一些簡單的計算可以得到 $n$ 層六角幻方(Magic Hexagon)應該有 $3n^2 + 3n + 1$ 個數字，而且 $n$ 層的六角幻方有 $2n+1$ 個斜線或橫線，因此要存在 $n$ 層的六角幻方的話，最起碼 $\frac{1+2+\dots+(3n^2+3n+1)}{2n+1}$ 一定為整數。

下面是我寫的最粗淺的證明，我相信是只要學過多項式除法的人都看的懂。

$\frac{1+2+\dots+(3n^2+3n+1)}{2n+1}$ 經過化簡整理得到 $\frac{9n^4+18n^3+18n^2+9n+2}{4n+2}$

$\frac{9n^4+18n^3+18n^2+9n+2}{4n+2} = \frac{n^4+2n^3-n}{4n+2}$ $+ (2n^3+3n^2+3n+1)$ 是整數

$\Leftrightarrow\frac{n^4+2n^3-n}{4n+2}$ 是整數

$\Rightarrow \frac{4(n^4+2n^3 -n)}{4n+2} = \frac{6n^3 - 4n}{4n+2}$ $+ n^3$ 是整數

$\Leftrightarrow \frac{6n^3-4n}{4n+2} = \frac{3n^3-2n}{2n+1}$ 是整數

$\Rightarrow \frac{2(3n^2-2n)}{2n+1} = \frac{-3n^2-4n}{2n+1}$ $+ 3n^2$ 是整數

$\Leftrightarrow \frac{-3n^2-4n}{2n+1}$ 是整數

$\Rightarrow \frac{2(-3n^2-4n)}{2n+1} = \frac{-5n}{2n+1}$ $- 3n$ 是整數

$\Leftrightarrow \frac{-5n}{2n+1}$ 是整數

$\Rightarrow \frac{2(-5n)}{2n+1} = \frac{5}{2n+1}$ $- 5$ 是整數

$\Leftrightarrow 5/(2n+1)$ 是整數

由於 $n$ 為正整數, 所以 $n$ 只有可能是 2。可是在 $\Rightarrow$ 這些步驟中都有乘一個整數, 這樣可能會把『有理數』變成『整數』，所以還要把 2 代回去一開始的 $\frac{9n^4+18n^3+18n^2+9n+2}{4n+2}$ 檢查, 最後得到結果為 38。於是當 $n\neq 2$ 時, 六角幻方是不存在的。

最後這裡有介紹兩層的六角幻方的擺法，而這裡有介紹解法以及為什麼是唯一解。

(偽)一元二次方程式問題[4]

Posted by mathfat — 一月 12, 2009

已知 $p$ 為質數使方程 $x^2-2px+p^2-5p-1=0$ 的兩根都是整數, 求 $p$ 的所有可能值

我的解法：把原方程式看成 $p$ 的方程式, 利用公式解得

$p = \frac{(5+2x)\pm\sqrt{20x+29}}{2}$

利用 $p$ 是質數, 得到 $20x+29$ 為完全平方數, 再由 $20x+29$ 的個位數是 $9$ 得到 $20x+29 = (10t+3)^2, (10t+7)^2$ . 這時可解出 $x = 5t^2+3t-1, 5t^2+7t+1$ , 再代入得到

$p = (t+1)(5t+3), t(5t-2), (t+1)(5t+7), t(5t+2)$

再用 $p$ 為質數, 推得上面的每個 $(at+b)$ 可能性只有 $1, -1$ 得到 $p = 3, 7$ 最後把 $3, 7$ 代回去原方程式檢查得到最後答案為 3, 7。

LOVEUU.bbs@ptt.cc 寫的解法：由公式解得到 $x = p + \sqrt{5p + 1}$ 為整數推得 $5p + 1$ 為一完全平方數，於是可得 $5p + 1 = n^2 \Rightarrow p = (n^2 - 1)/5 = (n + 1)(n - 1)/5$ 簡單計算一下就知道只有當 $n = 4, 6$ 時 $p$ 為質數, 最後得 $p = 3, 7$

(偽)一元二次方程式問題[3]

Posted by mathfat — 一月 12, 2009

已知 $a, b, c$ 三數滿足方程組 $a+b=8, ab-c^2+8\sqrt{2}c=48$ , 試求方程 $bx^2+cx-a=0$ 的根

我的解法： $ab = c^2 - 8\sqrt{2}c + 48 = (c-4\sqrt{2})^2 + 16 \geq 16$ 由算幾不等式可知 $(a+b)/2 \geq \sqrt{ab}$ 所以 $4\geq \sqrt{(c-4\sqrt{2})^2 + 16}\geq 4$ 因此 $c = 4\sqrt{2}$ , 而 $ab = 16, a+b = 8 \Rightarrow a = b = 4$ 所以原方程式為 $4x - 4\sqrt{2}x - 4 = 0$ , 則 $x=(\sqrt{2}+\sqrt{6})/2$ 及 $(\sqrt{2}-\sqrt{6})/2$

hb13256.bbs＠ptt.cc 則提供另一種解法：把 $b = 8-a$ 代入第二式得到 $(a - 4)^2 + (c + 4\sqrt{2})^2 = 0$ 也可以得到相同答案。

(偽)一元二次方程式問題[2]

Posted by mathfat — 一月 9, 2009

題目：某幼兒班派小虎同學到商店去買糖果第一次買了 $x$ 顆花了 $10a$ 元，第二次又去另一商店發現同樣的糖果由於週年慶所以每 12 顆要比上次少花 8 元於是他比第一次多買了 10 顆, 花去 20 元, 若 $a, x$ 均為正整數則小虎第一次買糖果多少顆？

解法：第一次商店一顆 $10a/x$ 元, 第二次商店一顆 $10a/x - 2/3$ 元, 所以 $(x+10)(10a/x - 2/3) = 20$ 式子整理一下可得

$x^2 + 40x = 15ax + 150a \Rightarrow (x^2+40x)/(x+10) = 15a$

因為 $a$ 是正整數, 所以 $(x^2+40x)/(x+10)$ 也是正整數, 並且是 15 的倍數。而 $\frac{x^2+40x}{x+10} = x+30 - \frac{300}{x+10}$ 但 $x$ 也是整數, 所以 $300/(x+10)$ 也是整數。這時就能很快的找出 $x$ 的值, 然後再代回 $(x^2+40x)/(x+10)$ 檢查是不是 15 的倍數。最後得到 $(x, a) = (50, 5), (5, 1)$

(偽)一元二次方程式問題[1]

Posted by mathfat — 一月 9, 2009

題目：已知 $a, b$ 為整數若關於 $x$ 的二次方程 $x^2+ax^{a-b}+(2a-b-1)x+a^2+a-b-4=0$ 的根都是整數, 求 $a, b$ 之值。

解答：

If a-b = 2, then $(1+a)x^2 + (a+1)x + a^2-2 = 0 \Rightarrow (a+1)(x^2+x+a-1) = 1.$ 由於 $a, x$ 為整數 $\Rightarrow a+1 = 1, -1 \Rightarrow a = 0, -2.$ 再代回去檢查發現都 ok, 所以 $b = -2, -4$
If a-b = 1, then $x^2 + 2ax + a^2-3 = 0$ 由判別式得到 $(2a)^2 - 4(a^2-3)$ 非完全平方數, 所以不合
If a-b = 0, then
- $a^2+a-4 < 0$ 則 $a$ 的可能性只有 -2, -1, 0, 1
- $a^2+a-4 > 0$ , 可利用
  
  $\alpha, \beta$ 為同號數, $(\frac{\alpha+\beta}{2})^2 \geq \alpha\beta$
  
  得到 $((a-1)/2)^2 \geq a^2+a-4 \Rightarrow 3a^2+6a-17 \leq 0$ 則 $a$ 的可能性只有 -3.
但是代回去都無法得到 $x$ 為整數。所以最後答案為 $(a,b) = (0,-2), (-2,-4)$

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