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六角幻方

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由於看到這裡寫到

兩層以上的六角幻方根本不存在

所以我想試著證明它。

首先我們該有一些基本的認識：透過一些簡單的計算可以得到 n 層六角幻方(Magic Hexagon)應該有 3n^2 + 3n + 1 個數字，而且 n 層的六角幻方有 2n+1 個斜線或橫線，因此要存在 n 層的六角幻方的話，最起碼 \frac{1+2+\dots+(3n^2+3n+1)}{2n+1} 一定為整數。

下面是我寫的最粗淺的證明，我相信是只要學過多項式除法的人都看的懂。

\frac{1+2+\dots+(3n^2+3n+1)}{2n+1} 經過化簡整理得到 \frac{9n^4+18n^3+18n^2+9n+2}{4n+2}

\frac{9n^4+18n^3+18n^2+9n+2}{4n+2} = \frac{n^4+2n^3-n}{4n+2} + (2n^3+3n^2+3n+1) 是整數

\Leftrightarrow\frac{n^4+2n^3-n}{4n+2} 是整數

\Rightarrow \frac{4(n^4+2n^3 -n)}{4n+2} = \frac{6n^3 - 4n}{4n+2} + n^3 是整數

\Leftrightarrow \frac{6n^3-4n}{4n+2} = \frac{3n^3-2n}{2n+1} 是整數

\Rightarrow \frac{2(3n^2-2n)}{2n+1} = \frac{-3n^2-4n}{2n+1} + 3n^2 是整數

\Leftrightarrow \frac{-3n^2-4n}{2n+1} 是整數

\Rightarrow \frac{2(-3n^2-4n)}{2n+1} = \frac{-5n}{2n+1} - 3n 是整數

\Leftrightarrow \frac{-5n}{2n+1} 是整數

\Rightarrow \frac{2(-5n)}{2n+1} = \frac{5}{2n+1} - 5 是整數

\Leftrightarrow 5/(2n+1) 是整數

由於 n 為正整數, 所以 n 只有可能是 2。可是在 \Rightarrow 這些步驟中都有乘一個整數, 這樣可能會把『有理數』變成『整數』，所以還要把 2 代回去一開始的 \frac{9n^4+18n^3+18n^2+9n+2}{4n+2} 檢查, 最後得到結果為 38。於是當 n\neq 2 時, 六角幻方是不存在的。

最後這裡有介紹兩層的六角幻方的擺法 ，而這裡有介紹解法以及為什麼是唯一解。