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92年國安局三等考數理組初等數論(一)

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題目：設 p 是質數，a, b 是整數，如果 \displaystyle\frac{a^p-b^p}{p} 是整數，證明 \displaystyle\frac{a^p-b^p}{p^2} 也是整數。

解答：Suppose we have know the following lemma

If p is prime, then { p \choose k} is divisible by p if and only if nonnegative integer k\neq 0, p

For convenience, let \displaystyle\frac{a^p-b^p}{p} = n and a = b+c , where c is also an integer.

Then we can rewrite n as

\displaystyle\frac{(b+c)^p-b^p}{p} = \frac{\sum_{k=1}^{p-1}{ p \choose k}c^{k}b^{p-k} + c^p}{p}

Since n is an integer, then c^p is divisible by p.

Thus c is also divisible by p , since p is prime.

Then { p \choose k}c^{k}b^{p-k} is divisible by p^2, \forall 1\leq k < p

and c^p is also divisible by p^2 since p \geq 2.

Hence n is divisible by p, that means \displaystyle\frac{a^p-b^p}{p^2} is an integer

六角幻方

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由於看到這裡寫到

兩層以上的六角幻方根本不存在

所以我想試著證明它。

首先我們該有一些基本的認識：透過一些簡單的計算可以得到 n 層六角幻方(Magic Hexagon)應該有 3n^2 + 3n + 1 個數字，而且 n 層的六角幻方有 2n+1 個斜線或橫線，因此要存在 n 層的六角幻方的話，最起碼 \frac{1+2+\dots+(3n^2+3n+1)}{2n+1} 一定為整數。

下面是我寫的最粗淺的證明，我相信是只要學過多項式除法的人都看的懂。

\frac{1+2+\dots+(3n^2+3n+1)}{2n+1} 經過化簡整理得到 \frac{9n^4+18n^3+18n^2+9n+2}{4n+2}

\frac{9n^4+18n^3+18n^2+9n+2}{4n+2} = \frac{n^4+2n^3-n}{4n+2} + (2n^3+3n^2+3n+1) 是整數

\Leftrightarrow\frac{n^4+2n^3-n}{4n+2} 是整數

\Rightarrow \frac{4(n^4+2n^3 -n)}{4n+2} = \frac{6n^3 - 4n}{4n+2} + n^3 是整數

\Leftrightarrow \frac{6n^3-4n}{4n+2} = \frac{3n^3-2n}{2n+1} 是整數

\Rightarrow \frac{2(3n^2-2n)}{2n+1} = \frac{-3n^2-4n}{2n+1} + 3n^2 是整數

\Leftrightarrow \frac{-3n^2-4n}{2n+1} 是整數

\Rightarrow \frac{2(-3n^2-4n)}{2n+1} = \frac{-5n}{2n+1} - 3n 是整數

\Leftrightarrow \frac{-5n}{2n+1} 是整數

\Rightarrow \frac{2(-5n)}{2n+1} = \frac{5}{2n+1} - 5 是整數

\Leftrightarrow 5/(2n+1) 是整數

由於 n 為正整數, 所以 n 只有可能是 2。可是在 \Rightarrow 這些步驟中都有乘一個整數, 這樣可能會把『有理數』變成『整數』，所以還要把 2 代回去一開始的 \frac{9n^4+18n^3+18n^2+9n+2}{4n+2} 檢查, 最後得到結果為 38。於是當 n\neq 2 時, 六角幻方是不存在的。

最後這裡有介紹兩層的六角幻方的擺法 ，而這裡有介紹解法以及為什麼是唯一解。

(偽)一元二次方程式問題[4]

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已知 p 為質數 使方程 x^2-2px+p^2-5p-1=0 的兩根都是整數, 求 p 的所有可能值

我的解法：把原方程式看成 p 的方程式, 利用公式解得

p = \frac{(5+2x)\pm\sqrt{20x+29}}{2}

利用 p 是質數, 得到 20x+29 為完全平方數, 再由 20x+29 的個位數是 9 得到 20x+29 = (10t+3)^2, (10t+7)^2. 這時可解出 x = 5t^2+3t-1, 5t^2+7t+1, 再代入得到

p = (t+1)(5t+3), t(5t-2), (t+1)(5t+7), t(5t+2)

再用 p 為質數, 推得上面的每個 (at+b) 可能性只有 1, -1 得到 p = 3, 7 最後把 3, 7 代回去原方程式檢查得到最後答案為 3, 7。

LOVEUU.bbs@ptt.cc 寫的解法：由公式解得到 x = p + \sqrt{5p + 1} 為整數推得 5p + 1 為一完全平方數，於是可得 5p + 1 = n^2 \Rightarrow p = (n^2 - 1)/5 = (n + 1)(n - 1)/5 簡單計算一下就知道只有當 n = 4, 6 時 p 為質數, 最後得 p = 3, 7