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一題不等式

Posted by mathfat — 三月 19, 2009

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an inequality

發表在 無數不學、Mine 中

Tagged ALGEBRA、am-gm inequality、inequality

三月·19

(偽)一元二次方程式問題[3]

Posted by mathfat — 一月 12, 2009

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已知 a, b, c 三數滿足方程組 a+b=8, ab-c^2+8\sqrt{2}c=48, 試求方程 bx^2+cx-a=0 的根

我的解法:ab = c^2 - 8\sqrt{2}c + 48 = (c-4\sqrt{2})^2 + 16 \geq 16 由算幾不等式可知 (a+b)/2 \geq \sqrt{ab} 所以 4\geq \sqrt{(c-4\sqrt{2})^2 + 16}\geq 4 因此 c = 4\sqrt{2}, 而 ab = 16, a+b = 8 \Rightarrow a = b = 4 所以原方程式為 4x - 4\sqrt{2}x - 4 = 0 , 則 x=(\sqrt{2}+\sqrt{6})/2 及 (\sqrt{2}-\sqrt{6})/2

hb13256.bbs@ptt.cc 則提供另一種解法:把 b = 8-a 代入第二式得到 (a - 4)^2 + (c + 4\sqrt{2})^2 = 0 也可以得到相同答案。

發表在 無數不學、Mine 中

Tagged am-gm inequality、inequality、quadratic equation

一月·12

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