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(偽)一元二次方程式問題[1]

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題目：已知 a, b 為整數 若關於 x 的二次方程 x^2+ax^{a-b}+(2a-b-1)x+a^2+a-b-4=0 的根都是整數, 求a, b之值。

解答：

  1. If a-b = 2, then (1+a)x^2 + (a+1)x + a^2-2 = 0 \Rightarrow (a+1)(x^2+x+a-1) = 1. 由於 a, x 為整數 \Rightarrow a+1 = 1, -1 \Rightarrow a = 0, -2. 再代回去檢查發現都 ok, 所以 b = -2, -4
  2. If a-b = 1, then x^2 + 2ax + a^2-3 = 0 由判別式得到 (2a)^2 - 4(a^2-3) 非完全平方數, 所以不合
  3. If a-b = 0, then x^2 + (a-1)x + a^2+a-4 = 0
    • a^2+a-4 < 0 則 a 的可能性只有 -2, -1, 0, 1
    • a^2+a-4 > 0, 可利用
      \alpha, \beta 為同號數, (\frac{\alpha+\beta}{2})^2 \geq \alpha\beta

      得到 ((a-1)/2)^2 \geq a^2+a-4 \Rightarrow 3a^2+6a-17 \leq 0 則 a 的可能性只有 -3.

    但是代回去都無法得到 x 為整數。所以最後答案為 (a,b) = (0,-2), (-2,-4)