高中數學

Posted by mathfat — 四月 22, 2011

Proof : $\displaystyle \frac{1}{1999} < \frac{1}{2} \times frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times \ldots \times \frac{1997}{1998} < \frac{1}{44}$

Let A = $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times \ldots \times \frac{1997}{1998}$ , we can rewrite A as $\displaystyle \frac{3}{2} \times \frac{5}{4} \times \ldots \times \frac{1997}{1996} \times \frac{1}{1998}$ .

Since $\displaystyle \frac{1}{1999} < \frac{1}{1998}$ and $\displaystyle 1 < \frac{3}{2} \times \frac{5}{4} \times \ldots \times \frac{1997}{1996}$ , then $\displaystyle \frac{1}{1999} <$ A.

Let B = $\displaystyle \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} \times \frac{6}{7} \times \ldots \times \frac{1998}{1999}$ , since $\displaystyle \frac{i-1}{i} < \frac{i}{i+1}, \forall i$ , then A<B.

Thus $\displaystyle \mbox{A}^2 < \mbox{A}\times\mbox{B} = \frac{1}{1999} < \frac{1}{1936}$ , that is $\displaystyle \mbox{A} < \frac{1}{44}$

一題三角不等式

Posted by mathfat — 十二月 14, 2009

題目：A, B, C 為三個 sets, A 與 B 的差異度 d(A, B) 定義為 $d(A, B) = |A\backslash B| + |B\backslash A|$ 試證:

$d(A, B) \leq d(A, C) + d(B, C)$

Let $D(A,B) = A\backslash B\cup B\backslash A$ , next I will prove

$\mbox{if } x\in D(A,B),\mbox{ then } x\in D(A,C)\cup D(B,C)$

then $d(A,B)\leq|D(A,C)\cup D(B,C)|\leq d(A, C) + d(B, C)$ .

Here is the proof.
$\mbox{if }x\in D(A,B)$
$\Rightarrow x\in A\backslash B\mbox{ or }B\backslash A.$
$\Rightarrow x\in (A\backslash C)\backslash B\mbox{ or }(A\cap C)\backslash B\mbox{ or }(B\backslash C)\backslash A\mbox{ or }(B\cap C)\backslash A$
$\Rightarrow x\in A\backslash C\mbox{ or }C\backslash B\mbox{ or }B\backslash C\mbox{ or }C\backslash A$
$\Rightarrow x\in D(A,C)\mbox{ or }x\in D(B,C)$
$\Rightarrow x\in D(A,C)\cup D(B,C)$

一題不等式

Posted by mathfat — 三月 19, 2009

(偽)一元二次方程式問題[3]

Posted by mathfat — 一月 12, 2009

已知 $a, b, c$ 三數滿足方程組 $a+b=8, ab-c^2+8\sqrt{2}c=48$ , 試求方程 $bx^2+cx-a=0$ 的根

我的解法： $ab = c^2 - 8\sqrt{2}c + 48 = (c-4\sqrt{2})^2 + 16 \geq 16$ 由算幾不等式可知 $(a+b)/2 \geq \sqrt{ab}$ 所以 $4\geq \sqrt{(c-4\sqrt{2})^2 + 16}\geq 4$ 因此 $c = 4\sqrt{2}$ , 而 $ab = 16, a+b = 8 \Rightarrow a = b = 4$ 所以原方程式為 $4x - 4\sqrt{2}x - 4 = 0$ , 則 $x=(\sqrt{2}+\sqrt{6})/2$ 及 $(\sqrt{2}-\sqrt{6})/2$

hb13256.bbs＠ptt.cc 則提供另一種解法：把 $b = 8-a$ 代入第二式得到 $(a - 4)^2 + (c + 4\sqrt{2})^2 = 0$ 也可以得到相同答案。

一題不等式

Posted by mathfat — 六月 26, 2008

本題由 TWN2.bbs＠ptt.cc 提供解法(文章代碼(AID): #18NyLsjU)

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