標籤文章彙整：quadratic equation

(偽)一元二次方程式問題[4]

Posted by —

0

已知 p 為質數 使方程 x^2-2px+p^2-5p-1=0 的兩根都是整數, 求 p 的所有可能值

我的解法：把原方程式看成 p 的方程式, 利用公式解得

p = \frac{(5+2x)\pm\sqrt{20x+29}}{2}

利用 p 是質數, 得到 20x+29 為完全平方數, 再由 20x+29 的個位數是 9 得到 20x+29 = (10t+3)^2, (10t+7)^2. 這時可解出 x = 5t^2+3t-1, 5t^2+7t+1, 再代入得到

p = (t+1)(5t+3), t(5t-2), (t+1)(5t+7), t(5t+2)

再用 p 為質數, 推得上面的每個 (at+b) 可能性只有 1, -1 得到 p = 3, 7 最後把 3, 7 代回去原方程式檢查得到最後答案為 3, 7。

LOVEUU.bbs@ptt.cc 寫的解法：由公式解得到 x = p + \sqrt{5p + 1} 為整數推得 5p + 1 為一完全平方數，於是可得 5p + 1 = n^2 \Rightarrow p = (n^2 - 1)/5 = (n + 1)(n - 1)/5 簡單計算一下就知道只有當 n = 4, 6 時 p 為質數, 最後得 p = 3, 7

(偽)一元二次方程式問題[2]

Posted by —

0

題目：某幼兒班派小虎同學到商店去買糖果 第一次買了 x 顆 花了 10a 元，第二次又去另一商店 發現同樣的糖果 由於週年慶 所以每 12 顆要比上次少花 8 元 於是他比第一次多買了 10 顆, 花去 20 元, 若 a, x 均為正整數 則小虎第一次買糖果多少顆？

解法：第一次商店一顆 10a/x 元, 第二次商店一顆 10a/x - 2/3 元, 所以 (x+10)(10a/x - 2/3) = 20 式子整理一下可得

x^2 + 40x = 15ax + 150a \Rightarrow (x^2+40x)/(x+10) = 15a

因為 a 是正整數, 所以 (x^2+40x)/(x+10) 也是正整數, 並且是 15 的倍數。而 \frac{x^2+40x}{x+10} = x+30 - \frac{300}{x+10} 但 x 也是整數, 所以 300/(x+10) 也是整數。這時就能很快的找出 x 的值, 然後再代回 (x^2+40x)/(x+10) 檢查是不是 15 的倍數。最後得到 (x, a) = (50, 5), (5, 1)

(偽)一元二次方程式問題[1]

Posted by —

0

題目：已知 a, b 為整數 若關於 x 的二次方程 x^2+ax^{a-b}+(2a-b-1)x+a^2+a-b-4=0 的根都是整數, 求a, b之值。

解答：

  1. If a-b = 2, then (1+a)x^2 + (a+1)x + a^2-2 = 0 \Rightarrow (a+1)(x^2+x+a-1) = 1. 由於 a, x 為整數 \Rightarrow a+1 = 1, -1 \Rightarrow a = 0, -2. 再代回去檢查發現都 ok, 所以 b = -2, -4
  2. If a-b = 1, then x^2 + 2ax + a^2-3 = 0 由判別式得到 (2a)^2 - 4(a^2-3) 非完全平方數, 所以不合
  3. If a-b = 0, then x^2 + (a-1)x + a^2+a-4 = 0
    • a^2+a-4 < 0 則 a 的可能性只有 -2, -1, 0, 1
    • a^2+a-4 > 0, 可利用
      \alpha, \beta 為同號數, (\frac{\alpha+\beta}{2})^2 \geq \alpha\beta

      得到 ((a-1)/2)^2 \geq a^2+a-4 \Rightarrow 3a^2+6a-17 \leq 0 則 a 的可能性只有 -3.

    但是代回去都無法得到 x 為整數。所以最後答案為 (a,b) = (0,-2), (-2,-4)